Расчет электрического поля

Рассматриваем случай кабелей с изоляцией из пропитанной маслом бумаги.

Одной из проблем при конструировании кабелей постоянного тока является выбор характеристик пропитанной маслом бумаги, от которых зависит распределение напряженностей электрического поля в изоляции и, связанный с этим, выбор ее структуры.

При исходных значениях удельного сопротивления , температуры -  и напряженности -  удельное сопротивление изоляции [6]

(1)

где  - температурный коэффициент температуры изоляции, 1/;  - коэффициент зависимости сопротивления изоляции от напряженности электрического поля, м/Мв Коэффициенты  и  определяются сортами бумаги и технологией изготовления изоляции. Значения  меняются от 0,05 (для уплотненных бумаг марки КВМУ, имеющих удельный вес =1100 кг/ и пропитанных маслом марки С-220) до 0,8 (для неуплотненных бумаг КВМ с =700 кг/ и пропитанных маслом ИА-4); коэффициент  изменяется, соответственно от 0,03 до 0,05 м/МВ.

Общий подход к расчету напряженности электрического поля в изоляции кабеля постоянного тока основан на решении уравнения, эквивалентного уравнению Гаусса или Пуассона (Лапласа), связывающего плотность тока в изоляции j с общим числом зарядов, вытекающих из объема, ограниченного некоторой поверхностью S - общим током утечки I от жилы через изоляцию

(2)

при условии, что плотность тока и напряженность электрического поля связаны соотношением

(3)

Точный расчет Е, в общем виде аналитически невозможен. Он ведется численным методом.

1. Полагаем  или, эквивалентно, удельное сопротивление, величиной постоянной и .

Тогда, воспользовавшись тем, что  ( - приложение к изоляции напряжение), получим обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными

(4)

интегрируя которые получим

(5)

(R - внешний радиус изоляции) и сопротивление изоляции

(6)

Из уравнения (5) следует, что напряженности электрического поля в некоторой точке изоляции и на внешней границе будут относится так же, как соответствующие произведения :

(7)

Теперь, задавая нагрузку кабеля можно определить характер распределения Е по сечению изоляции.

а). Слабонагруженный кабель - проводимость одинакова по сечению: , откуда следует, что наибольшая напряженность поля будет у жилы.

б). Сильнонагруженный кабель.  наибольшая напряженность поля будет у оболочки: .

в). Пусть , тогда  или=const. В этом случае напряженность поля в каждой точке изоляции будет одинаковой и равный средней .

2. Положим, что температура по сечению изоляции не постоянна, но она может быть определена по температуре жилы :

(8)

где  - потери в жиле, Вт/м;

 - удельное тепловое сопротивление изоляции,  ·см/Вт;

 - радиус жилы (или полупроводящего экрана жилы), мм;

r - текущий радиус изоляции, мм.

Сопротивление изоляции зависит от температуры и напряженности электрического поля (1) . Подстановка температуры из уравнения (8) дает

(9)

где .

Сквозной ток проводимости в изоляции кабеля под действием постоянного напряжения в установившемся режиме определяется (4) напряженностью поля и сопротивлением

(10)

После подстановки в (4.10) значений p и J получим

(11)

По условию непрерывности тока для любой точки "а" изоляции

(12)

Аналогично выражению (1) для можно записать

(13)

с учетом (12) и (13) получится более простое выражение для r

(14)

По (ж) расчет можно вести как для кабеля под нагрузкой , так и для кабеля без нагрузки . Для последнего случая

(15)

"Опорную" точку "а" удобно взять как точку пересечения кривой распределения Е в кабеле без нагрузки (b=0) с кривой распределения Е в кабеле под нагрузкой  без учета зависимости .

(16)

Напряженность электрического поля в этой точке

(17)

В формулах (16) и (17): rи - внешний радиус изоляции, мм; U - приложенное к кабелю постоянное напряжение, кВ. Зная , по формуле (15) определяется r для конкретных напряженностей электрического поля. Действительными значениями будут величины, попадающие в диапазон . Расчет ведется для каждого задаваемого значения нагрузочного параметра b.

3. Расчет электрического поля, основанный на решении уравнения непрерывности для плотности тока утечки.

Интегральному уравнению (5), по аналогии с дифференциальной формой теоремы Гаусса  для переменного тока, соответствует дифференциальное уравнение непрерывности для плотности тока утечки  через изоляцию

(18)

При решении (18) используется, уже известное нам, связь проводимости (или удельного сопротивления ) с температурой и величиной Е.

(19)

где: -удельная объемная электрическая проводимость при начальных условиях:   - примем равным 0,06 ; - примем равным 0,03 ;  - минимальная величина напряженности поля, при которой начинается сказываться ее влияние на величину. Решение приведем, следуя [8]. Подстановка  При условии  в цилиндрической системе координат  или, учитывая   Окончательно,  Или, вводя параметр , получим

(20)

Для решения (20) пользуются разложением Е в степенной ряд по параметру 

(21)

где  - решение, соответствующее случаю независимости сопротивления изоляции от напряженности электрического поля: =0, а прочие члены ряда учитывают поправку на нелинейность уравнения. Тогда расчет проводится по формуле С.М.Брагина - для кабеля под нагрузкой

(22)

- для кабеля без нагрузки

(23)

Для определения  разложение (21) подставляют в (20), группируя коэффициенты при каждой степени , получая систему уравнений относительно и т.д. Появляющиеся при интегрировании этих уравнений постоянные находятся из граничных условий с учетом того, что в точке изоляции с  все члены , кроме , входящие в (21) равны нулю, т.е. все кривые , соответствующие различным значениям b и , пересекаются в этой точке.

Приближенное решение (20) имеет вид: - для кабеля под нагрузкой:

(24)

- для кабеля без нагрузки:

(25)

Формулы (24) и (25) могут непосредственно использоваться при конструировании кабелей постоянного тока.