Теорема Гаусса

Теорема Гаусса - одна из важнейших теорем электростатики. Она соответствует закону Кулона img и принципу суперпозиции - сила, действующая на заряд, есть векторная сумма сил Кулона, действующих со стороны всех прочих зарядов. В формулеq1, q2 - заряды взаимодействующих частиц, R - расстояние между ними, img - диэлектрическая постоянная img

Теорема Гаусса формулируется и записывается тремя способами (интегральная форма):

1.Поток вектора электрической индукции img через любую замкнутую поверхность, окружающую некоторый объем, равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности

img(26)

где img - поверхностный интеграл 1-го рода, img - элемент поверхности.

2.Учитывая связь индукции и напряженности электрического поля, для однородной и изотропной среды

img(27)

3.Если внутри поверхности находятся не только свободные но и связанные заряды img (например, определяющие поляризацию), то

img(28)

Напомним, что скалярное произведение img, а вычисление поверхностного интеграла, когда поверхность S, в общем виде незамкнутая, задана явным уравнением Z=Z(x;y), осуществляется сведением его к двойному по поверхности Д, которая является проекцией поверхности S на плоскость xoy: img.

С помощью теоремы Гаусса в интегральной форме нельзя определить, как связан исток линий img в данной точке поля с плотностью заряда в той же точке поля. Ответ на этот вопрос дает дифференциальная форма теоремы Гаусса.

Разделим (27) на объем V (скаляр), находящийся внутри поверхности S:

img(29)
img(30)

Здесь в соответствие с теоремой Остроградского-Гауссаimg

Учитывая приведенные соотношения, получаем для однородной и изотропной среды (img не зависит от координат, следовательно, может быть вынесена за знак div) теорему Гаусса в дифференциальной форме - первое уравнение Максвелла

img(31)

где img объемная плотность зарядов.

В декартовой системе координат img

В цилиндрической img

Из теоремы Гаусса следуют уравнения Пуассона и Лапласа.

Известно, что img. Следовательно, img, или

img- уравнение Пуассона.(32)

img то

img- уравнение Лапласа.(33)

В декартовой системе координат (x; y; z) img В цилиндрической системе координат (r; ; z)img

Электрическое поле цилиндрического конденсатора img

В цилиндрической системе координат теорема Гауса в дифференциальной форме img имеет вид img. Электрическое поле симметрично в плоскости, r-z - зависит только от радиуса img. Тогда при img

img(34)
img(35)

В отсутствие объемного заряда img. Поэтому интегрирование уравнения (35) дает img - постоянная интегрирования, и img.

В Определим постоянную интегрирования С1, используя соотношение между напряженностью электрического поля и приложенным к конденсатору напряжением.

img(36)

и

img(37)

Уравнение (37) для напряженности электрического поля справедливо при постоянных параметрах среды.

Значение потенциала на радиусе r определяется из уравнения

img(38)

Оптимальное соотношение геометрических размеров конденсатора определим как экстремум электрического поля по параметру r2/r1 при r2 = const . img

Равенство нулю полученного выражения (необходимое условие наличия экстремума) возможно при lnx = 1, что означает img, и оптимальное соотношение между внутренним и внешним радиусами

img